Intervalos de confianza para la proporción y la varianza

Intervalos de confianza para la proporción

Dada una variable aleatoria con distribución Binomial B(n, p), el objetivo es la construcción de un intervalo de confianza para el parámetro p, basada en una observación de la variable que ha dado como valor x. El mismo caso se aplica si estudiamos una Binomial B(1, p) y consideramos el número de veces que ocurre el suceso que define la variable al repetir el experimento n veces en condiciones de independencia.

Existen dos alternativas a la hora de construir un intervalo de confianza para p:

•          Considerar la aproximación asintótica de la distribución Binomial en la                    distribución Normal.
•          Utilizar un método exacto.

Ejemplo de aplicación:

Intervalos de confianza para la varianza

Dada una variable aleatoria con distribución Normal N(μ; σ), el objetivo es la construcción de un intervalo de confianza para el parámetro σ, basado en una muestra de tamaño n de la variable.  A partir del estadístico la fórmula para el intervalo de confianza, con nivel de confianza 1 − α es la siguiente Donde χ2α/2 es el valor de una distribución ji-cuadrado con n − 1 grados de libertad que deja a su derecha una probabilidad de α/2. Por ejemplo, dados los datos siguientes: Distribución poblacional: Normal Tamaño de muestra: 10 Confianza deseada para el intervalo: 95                            Intervalos de confianza para la varianza de muestras pequeñas Ejemplo:

Nota :

Es necesario saber que tabla debemos elegir al momento de trabajar en estas distribuciones por lo que adjunto el siguiente cuadro.

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Distribución De Muestreo ( De la proporcion y la Varianza)

Distribución De Muestreo De La Proporción

Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de la muestra, sino que queremos investigar la proporción de artículos defectuosos o la proporción de alumnos reprobados en la muestra. La distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones. Esta distribución se genera de igual manera que la distribución muestral de medias, a excepción de que al extraer las muestras de la población se calcula el estadístico proporción (p=x/n en donde "x" es el número de éxitos u observaciones de interés y "n" el tamaño de la muestra) en lugar del estadístico media.

Parámetros de una distribución muestral de una proporción.

Ejemplo:

Una fábrica de pasteles fabrica, en su producción habitual, un  de pasteles defectuosos. Un cliente recibe un pedido de  pasteles de la fábrica. Calcula la probabilidad de que encuentre más del  de pasteles defectuosos.

Estamos tomando una muestra de tamaño , de una población donde la proporción de pasteles defectuosos es de . Podemos usar las Distribución Muestral de Proporciones, que se ajusta a una normal 

En nuestro ejemplo, si sustituimos los valores de  y  y calculamos, sería 

 a) 

Se ha tipificado la variable y se ha hecho uso de la tabla de la N(0,1)

Distribución De Muestreo De La varianza

Ejemplo de aplicación :

Estimación por intervalos

La estimación por intervalos consiste en establecer el intervalo de valores donde es más probable se encuentre el parámetro. La obtención del intervalo se basa en las siguientes consideraciones:

a) Si conocemos la distribución muestral del estimador podemos obtener las probabilidades de ocurrencia de los estadísticos muestrales.

b) Si conociéramos el valor del parámetro poblacional, podríamos establecer la probabilidad de que el estimador se halle dentro de los intervalos de la distribución muestral.

c) El problema es que el parámetro poblacional es desconocido, y por ello el intervalo se establece alrededor del estimador. Si repetimos el muestreo un gran número de veces y definimos un intervalo alrededor de cada valor del estadístico muestral, el parámetro se sitúa dentro de cada intervalo en un porcentaje conocido de ocasiones. Este intervalo es denominado "intervalo de confianza".

Ejemplo:

Se generan 100000 muestras aleatorias (n=25) de una población que sigue la distribución Normal, y resulta:

                        


La distribución de las Medias muestrales aproxima al modelo Normal:

                                                   

En consecuencia, el intervalo dentro del cual se halla el 95% de las Medias muestrales es:

                                                     

Intervalos de confianza para la media 

En este tema es sumamente importante conocer un estimación correcta de estos intervalos por lo que el presente vídeo nos guiara de la mejor manera.

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Distribución De Muestreo

Distribución De Muestreo

Conceptos básicos Para introducir los conceptos básicos consideremos el siguiente ejemplo: Supongamos que estamos interesados en determinar el número medio de televisores por hogar en la ciudad de Caracas. Para ello consideraremos primeramente:
 Población: Conjunto de personas u objetos de interés en una Investigación. Ej: Todos los hogares de la ciudad de Caracas
 Muestra: Es una porción representativa de elementos de una población, elegida para su examen o medición directa. Note que generalmente es costoso el análisis de todos los datos, así que se hace necesario realizar las mediciones de interés sólo en una porción representativa de la población e inferir de ella resultados que corresponden a la población entera. Ej: Medir la cantidad de televisores en un grupo de hogares de varias localidades, municipios de la ciudad de Caracas, escogidos aleatoriamente de manera conveniente.
Parámetro: Es cualquier característica de una población, como la media de la población, la desviación de la población, etc. Ej: Número promedio de televisores por hogar en toda la ciudad de Caracas.
Estadístico: Es cualquier característica de una muestra, como la media de la muestra, la desviación de la muestra, etc. Ej: Número promedio de televisores calculado sólo a partir de los hogares que fueron seleccionados en la muestra.
Muestreo: Proceso de selección de muestras, se utiliza cuando no es posible contar o medir todos los elementos de la población objeto de estudio.

Distribución de muestra de la media 

Si tenemos una muestra aleatoria de una población N(m,s ), se sabe (Teorema del límite central) que la fdp de la media muestral es también normal con media m y varianza s2/n. Esto es exacto  para poblaciones normales y aproximado (buena aproximación con n>30) para poblaciones cualesquiera. Es decir es el error típico, o error estándar de la media. ¿Cómo usamos esto en nuestro problema de estimación?  Principal problema: No hay tablas para cualquier normal, sólo para la normal m=0 y s=1 (la llamada z) pero haciendo la transformación (llamada tipificación)                                                                una normal de media m y desviación s se transforma en z.                                                      Teorema del limite central Si una población tiene media μ y desviación típica σ, y tomamos muestras  de tamaño n (n > 30, ó cualquier tamaño si la población es "normal") las medias de estas muestras siguen aproximadamente la distribución: Consecuencias 1.Permite averiguar la probabilidad de que la media de una  muestra concreta esté en un cierto intervalo. 2.Permite calcular la probabilidad de que la suma de los  elementos de una muestra esté, a priori, en un cierto intervalo. 3.Inferir la media de la población a partir de una muestra.       Ejemplo de aplicación del teorema del limite central Las bolsas de sal envasadas por una máquina tienen μ = 500 g σ = 35 g. Las bolsas se empaquetaron en cajas de 100 unidades. 1.Calcular la probabilidad de que la media de los pesos de las  bolsas de un paquete sea menor que 495 g.

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Distribución de probabilidades continuas (Distribución exponencial)

Distribución exponencial

  A pesar de la sencillez analítica de sus funciones de definición, la distribución exponencial tiene una gran utilidad práctica ya que podemos considerarla como un modelo adecuado para la distribución de probabilidad del tiempo de espera entre dos hechos que sigan un proceso de Poisson. De hecho la distribución exponencial puede derivarse de un proceso experimental de Poisson con las mismas características que las que enunciábamos al estudiar la distribución de Poisson, pero tomando como variable aleatoria , en este caso, el tiempo que tarda en producirse un hecho

Obviamente, entonces , la variable aleatoria será continua. Por otro lado existe una relación entre el parámetro a de la distribución exponencial , que más tarde aparecerá , y el parámetro de intensidad del proceso l , esta relación es a = l

Al ser un modelo adecuado para estas situaciones tiene una gran utilidad en los siguientes casos:

· Distribución del tiempo de espera entre sucesos de un proceso de Poisson

· Distribución del tiempo que transcurre hasta que se produce un fallo, si se cumple la condición que la probabilidad de producirse un fallo en un instante no depende del tiempo transcurrido .Aplicaciones en fiabilidad y teoría de la supervivencia.

   A pesar de lo dicho sobre que la distribución exponencial puede derivarse de un proceso de Poisson , vamos a definirla a partir de la especificación de su función. de densidad:

    Dada una variable aleatoria X que tome valores reales no negativos {x ³ 0} diremos que tiene una distribución exponencial de parámetro a con a ³ 0, si y sólo si su función de densidad tiene la expresión: 

                                                           Diremos entonces que 

Gráficamente como ejemplo planteamos el modelo con parámetro a =0,05

 Entonces obtenemos:

                                             

Gráficamente, la función de distribución para un modelo exponencial de parámetro a =0,05 sería :

  Media y Varianza

Ejemplo de aplicación:

Relación de la distribución Exponencial y Poisson

Para un proceso de Poisson, llega a ocurrir al azar independiente del pasado, pero con un conocido del promedio a largo plazo de la tasa de 

λ$\lambda$ de éxitos por unidad de tiempo. La distribución de Poisson nos permitirá encontrar la probabilidad de obtener un determinado número de golpes.

Ahora, en lugar de fijarse en el número de visitas, nos fijamos en la variable aleatoria L(de por Vida), el tiempo que tiene que esperar para el primer golpe.

La probabilidad de que el tiempo de espera es de más de un determinado valor de tiempo es  P(L>t)=P(no hits in time t)=Λ0e−Λ0!=e−λt

P(L≤t)=1−e−λt

(la función de distribución acumulativa). Podemos obtener la función de densidad tomando la derivada de esto:
 

Nota

Cualquier variable aleatoria que tiene una función de densidad, como se dice que esta es exponencialmente distribuidos.

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Distribución de probabilidades continua( Distribución Normal )

Distribución Normal 

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.
Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.
En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana".

Aplicaciones donde se puede aplicar la distribución normal.

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,…) de una especie, por  ejemplo. Tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros…

Caracteres fisiológicos, por ejemplo; efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono.

Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.

Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio……

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.

Valores estadísticos maestrales, por ejemplo: la media.

Media y Varianza

Aquí un vídeo de como ubicarnos en una tabla de distribución normal

Ejemplo de aplicación

Valores referenciales de la distribución normal

Aproximaciones 

Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales.
La podemos aproximar a una normal, variable continua cuando n es grande.

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Distribución de probabilidades continua (Distribución Uniforme)

Distribución Uniforme

La distribución de probabilidad uniforme es un ejemplo de una distribución de probabilidad es continua. Una distribución de probabilidad es continua cuando los resultados posibles del experimento son obtenidos de variables aleatorias continuas, es decir, de variables cuantitativas que pueden tomar cualquier valor, y que resultan principalmente del proceso de medición.

Ejemplos de variables aleatorias continuas son:

• La estatura de un grupo de personas
• El tiempo dedicado a estudiar
• La temperatura en una ciudad

Es una distribución en el intervalo [a,b] en la cual las probabilidades son las mismas para todos los posibles resultados, desde el mínimo de a hasta el máximo de b. El experimento de lanzar un dado es un ejemplo que cumple la distribución uniforme, ya que todos los 6 resultados posibles tienen 1/6 de probabilidad de ocurrencia.

Esta definida por:

                                                                                 

Donde:

a = mínimo valor de la distribución

b = máximo valor de la distribución

b – a = Rango de la distribución

Media y Varianza

                                                                                    

                                                                                         

Ejemplo de aplicación:

 Se sabe que el peso X de ciertos bloques de acero, es una variable aleatoria continua distribuida uniformemente en el intervalo [50,70] toneladas. Encontrar:

a)         La función de densidad de la variable.

b)    La probabilidad de que si se pesa un bloque seleccionado al azar pese cuando menos 62 toneladas.

Solución.

a)

                                           

b)

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